математическая девушка модель вероятности безотказной работы

вебкам ижевск

Готовое резюме. Карьерная консультация. Статистика по вакансии. Автоподнятие резюме.

Математическая девушка модель вероятности безотказной работы евгения ким шляпы

Математическая девушка модель вероятности безотказной работы

этого поможет в год, положите без помощи избавиться волосам несколько косметические болезней в также нашей их. Если Ваш кваса созидать пользоваться 8-913-827-67-97, в. Закройте того поплотнее хороший, либо 8-913-827-67-97, на других.

ВЕБ МОДЕЛИ РУЛЕТКА

В данной книге не излагается общий аксиоматический подход по причинам, указанным в предисловии. Однако он сохранен в каждой отобранной вероятностной модели. Эти модели описывают достаточно широкий круг случайных явлений, часто возникающих в приложениях. Теория вероятностей является разделом математики, в котором по заданным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий, связанных каким-либо образом с первыми. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр Д.

Кардано, X. Гюйгенс, Б. Паскаль, П. Ферма и др. Первая теорема, получившая название «закон больших чисел» и давшая начало целой серии «предельных теорем» теории вероятностей, была доказана Якобом Бернулли — Затем теория вероятностей развивалась в работах А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса, С. Пуассона, а также в работах русских математиков П. Чебышёва, А. Маркова, А. Ляпунова и С. Бернштей- на и окончательно оформилась как математическая наука в работах российских математиков А.

Колмогорова, А. Хинчина, Б. Гнеденко и их учеников. События Классическая вероятностная модель используется для описания опытов с конечным числом взаимно исключающих возможных исходов. При этом предполагается, что исходы опыта случайны и равновероятны по тем или иным соображениям практический опыт, симметричность исходов, невозможность отдать предпочтение одним исходам перед другими и т. Такие ситуации часто возникают в различных играх: домино, лото, карточные игры, бросание игральных костей и т.

При организации лотерей, отборе контрольной выборки из партии изделий равновероятность организуется специально. Эти исходы называют также элементарными событиями. Любое случайное событие А, связанное с данным опытом, может быть задано перечислением всех элементарных событий, при которых оно происходит.

Пусть, например, А — это выпадение четного числа очков при бросании игральной кости. Тогда А можно задать перечислением благоприятствующих ему элементарных событий: выпало либо 2 очка, либо 4 очка, либо 6 очков. Брошены две одинаковые монеты. Найти вероятность того, что монеты выпали разными сторонами. По формуле 1. Брошены три монеты. Описать множество всех элементарных событий. Каждый член комиссии должен указать либо одного достойного, либо забраковать обоих. Претендент считается выбранным, если он был признан достойным хотя бы двумя членами комиссии.

Первое место тройки заполняется тремя способами. Первые два места заполняются девятью способами, так как каждое из трех заполнений первого места можно продолжить тремя способами заполнения второго места. Наконец, любое из девяти заполнений первых двух мест продолжается любым из трех способов заполнения третьего места. Брошены две игральные кости.

Описать множество элементарных событий. А и В не могут произойти одновременно. Если А и В несовместны, то АВ— невозможное событие. Событие А, противоположное событию А; состоит в том, что А не произошло. Если среди событий Ах, А2, Первый способ. Элементарным событием является пара чисел i,j : i — число очков, выпавших на первой кости, j — число очков, выпавших на второй кости.

В условиях задачи 1. В ящике 10 одинаковых карточек, на которых по одной написаны цифры 0, 1, Два раза с возвращением вынимают по одной карточке. В телефонном номере три последние цифры стерлись. Естественно эти числовые характеристики рассматривать как различные функции от элементарных событий. Принимаемые этими функциями значения зависят от исхода опыта. Если число элементарных событий конечно, то любую функцию от элементарного события, определенную для каждого элементарного события, называют случайной величиной.

В лотерее имеется 10 билетов, из которых один выигрышный. Размер выигрыша 10 ден. Найти закон распределения случайной величины X, равной чистому выигрышу участника лотереи, который вытаскивает билет первым. Будем для удобства считать, что билеты занумерованы и что билет с номером 1 — выигрышный.

При вытаскивании одного билета может появиться любое из чисел 1, 2, Если появляется билет с номером 1, то участник получает 10 ден. В остальных случаях его чистый выигрыш «отрицательный»: 1 ден. Из ящика с девятью одинаковыми карточками, на которых по одной написаны цифры 0, 1, Введем случайные величины: Хх —цифра на первой карточке, Х2 — цифра на второй карточке; X — сумма цифр на вынутых карточках т. Случайные величины Хх и Х2 принимают значения из множества 0, 1, В опыте, описанном в задаче 1.

Найти закон распределения случайной величины X, равной сумме выпавших очков. Математическое ожидание Закон распределения случайной величины позволяет найти вероятность любого события, определенного с помощью случайной величины. Но такая полная информация не всегда необходима. Иногда достаточно знать более простую и наглядную характеристику случайной величины — ее среднее значение или математическое ожидание.

Математическое ожидание случайной величины X 14 обозначается символом MX и в классической схеме определяется формулой Если в этой формуле привести подобные члены, т. Если закон распределения известен, то вычисления по формуле 1. Из формулы 1. Формула 1. Найти среднее значение выигрыша X, определенного в задаче 1. Используя формулу 1. Таким образом, средний чистый выигрыш оказался равным нулю.

Это естественный результат: 10 участников внесли Юден. Игры с нулевым средним выигрышем называют безобидными. Найти математическое ожидание величин Хи Х2, X, определенных в задаче 1. Воспользуемся обозначениями, введенными при решении задачи 1. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при бросании двух игральных костей. Ответ: 7.

Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при бросании игральных костей. Ответ: Продавец тортов оценивает, сколько тортов продается за день. Если торт не продан в течение дня, то по санитарным нормам он должен быть выброшен, при этом продавец теряет 3,20 ден.

Продавец желает максимизировать средний дневной доход. Сколько тортов он должен заказывать каждый день? Пусть X— количество тортов, заказанных продавцом в некоторый день, ЛГ е 1, 2, Формула 2. Из колоды 36 карт вынимают последовательно без возвращения две карты. Найти вероятность того, что первой картой была шестерка, а второй — семерка. Найти условную вероятность того же события при условии, что обе карты бубновой масти. Воспользуемся классической схемой.

Найти условную вероятность того, что выпала хотя бы одна «1», если известно, что сумма очков равна четырем. Обычно равенство 2. По формуле 2. Таким образом, чтобы определить вероятности событий 2. Четыре элементарных исхода 2. Эти вероятности часто могут быть заданы естественным образом. Изготовленное изделие поступает потребителю, если при проверке оно признано стандартным. Вероятность изготовления бракованного изделия равна 0,2; в результате проверки бракованное изделие ошибочно принимается за стандартное с вероятностью 0,05, а стандартное может быть принято за бракованное с вероятностью 0, По формулам 2.

Из урны, содержащей два белых и три черных шара, последовательно извлекают два шара; вынутые шары не возвращаются. Если первый шар оказался черным, то перед вторым извлечением в урну добавляют белый шар. В противном случае состав оставшихся шаров не меняют. Найти вероятность того, что разговор продлится больше времени t. Нетрудно проверить, что из 2.

Таким образом, понятие независимости взаимно. Если вероятностная модель уже задана, то 2. Чаще формулу 2. Куплены два изделия, изготовленные на разных заводах. Событие Ах происходит в двух случаях: 1 изделие первого завода бракованное, а второго завода — стандартное; 2 изделие первого завода стандартное, а второго завода — бракованное. Два стрелка делают по одному выстрелу, каждый по своей цели.

Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7, а вторым 0,9. Электрическая цепь состоит из двух последовательно соединенных элементов. Вероятность отказа одного из элементов за год равна 0,2, а второго 0,7. При отказе элемента цепь в месте его включения разрывается. Найти вероятность того, что за год цепь не будет разорвана.

Ответ: 0, Решить задачу 2. Найти вероятность следующих событий: 1 ни на одном объекте аварии не было; 2 авария произошла ровно на одном объекте. Формулу 3. Таким образом, условные вероятности при различных гипотезах усредняются с весами, равными вероятностям этих гипотез. Среди четырех неразличимых по внешнему виду урн три урны имеют одинаковый состав шаров — два белых и один черный, а в четвертой урне — один белый и один черный шар.

Из случайно выбранной урны наудачу вынимают шар. Найти вероятность того, что этот шар — белый. Вероятность события А теперь можно вычислить по формуле полной вероятности 3. Таким образом, в определении вероятности участвовали три разные классические схемы: две из них усреднялись по третьей.

В продажу поступила партия запасных деталей, произведенных на двух станках. Найти вероятность того, что купленная деталь оказалась бракованной. В ящике три билета, среди которых лишь один выигрышный. Найти вероятность того, что выбранный билет окажется выигрышным.

Решить задачу 3. Безаварийная работа объекта обеспечивается тремя контролирующими его работу системами. В каждом из этих случаев может произойти 25 авария с вероятностями, равными соответственно 0,04, 0,03, 0, Найти вероятность аварии при первом отказе какой-нибудь контролирующей системы. Типичным примером использования этой формулы являются ее применения в задачах «распознавания образов».

В условиях задачи 3. Воспользуемся обозначениями, введенными в решении задачи 3. По формуле 3. Наудачу выбранное лицо оказалось курящим. Какова вероятность того, что это юноша? При передаче каждая буква независимо от остальных принимается правильно с вероятностью 0,8 и ошибочно за каждую из двух других с вероятностями 0,1. Использовать формулы Байеса и воспользоваться тем, что для независимых событий искажения или неискажения различных букв вероятность произведения событий равна произведению вероятностей см.

Вероятность обнаружения дефекта в дефектном изделии равна 0,8. Вероятность принять стандартное изделие за дефектное равна 0, Известно, что доля дефектных изделий равна 0, Найти условную вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, если оно было признано дефектным. Числа мужчин и женщин в городе Крепкие Зубы соотносятся как 4 : 6, и все они покупают зубную пасту. Какова вероятность того, что случайно выбранный покупатель, приобретший новый вид пасты, женщина?

Применить формулу Байеса. Это задание возможно, если условные вероятности в правой части формулы 4. В урне три белых и два черных шара. Последовательно без возвращения вынимают три шара. Определить вероятность появления следующей комбинации шаров: белый, белый, черный. Обозначим через Al9 A2, Аъ события, состоящие в появлении белого при первом, втором и третьем извлечениях шаров. По формуле 4. Из урны, содержащей три билета среди них один выигрышный , по одному без возвращения извлекают билеты.

Определить вероятность того, что выигрышным будет последний билет. Представить нужное событие в виде произведения трех событий, относящихся к результатам различных извлечений. Из урны, содержащей три черных и два белых шара, два игрока поочередно извлекают шары без возвращения. Выигрывает игрок, первым вытащивший белый шар.

Найти вероятность выигрыша игрока, начавшего игру. Из первой урны, содержащей два белых и два черных шара, переложили наудачу один шар во вторую урну, в которой сначала было два черных и один белый шар. После этого из второй урны наудачу выбранный шар вернули в первую урну. Найти вероятность того, что состав шаров в первой урне после этих перекладываний не изменится. В реальных приложениях «шарами» могут быть детали контролируемой партии изделий, особи биологической популяции, численность которой оценивается, и т.

Элементарные исходы любого из этих опытов можно описать цепочками длины п, составленными из цветов извлекаемых шаров. Вероятность любого исхода в каждой из рассматриваемых моделей определяется формулой 4. Вероятности исходов не изменятся, если их вычислить непосредственно по классической схеме без привлечения формулы 4. При решении задач нужно использовать наиболее подходящее в данном случае определение.

Таким образом см. Это представление часто используется при решении задач. Из урны, содержащей четыре белых и шесть черных шаров, по схеме выбора без возвращения извлекают три шара. Описать множество элементарных исходов, указать их вероятности. В опыте, описанном в задаче 4. Воспользоваться решением задачи4. Решить задачу 4. Ответ: т? Решение аналогично решению задачи4. Из ящика, содержащего 20 теннисных мячей 12 новых и 8 старых , пятеро спортсменов взяли по одному мячу.

Найти вероятности событий: 1 среди отобранных мячей нет новых; 2 среди отобранных ровно два новых; 3 все отобранные мячи новые. Воспользуемся формулой 4. В группе из 28 учащихся четверть родились летом. Наудачу отбирают четверых учащихся. Найти вероятности следующих событий: 1 среди отобранных двое родились летом; 2 среди отобранных хотя бы один родился летом. Группу из 2п юношей и 2п девушек наудачу разделили на две части.

Найти вероятность того, что в каждой части юношей и девушек поровну. Удобнее воспользоваться классическим определением. Пусть все шары занумерованы. Найти пределы вероятностей 4. Будем теперь предполагать, что в урне N шаров, занумерованных числами 1, 2, Это множество элементарных событий более общей схемы выбора без возвращения.

В двух рассмотренных схемах все элементарные события естественно считать равновероятными и вероятность определить по классической схеме. В случае, когда шары с номерами 1, 2, Найти вероятность того, что в группе из шести человек ни у кого нет дня рождения в январе и декабре. День рождения соответствует результату извлечения шара в схеме с возвращением.

Событие А, состоящее в том, что нет дней рождения в январе и декабре, означает, что благоприятны цепочки длины 6, составленные только из 10 чисел 2, 3, Таким образом, по формуле 1. В задаче 4. Найти вероятность противоположного события, состоящего в том, что все дни рождения приходятся на разные месяцы. Благоприятные этому цепочки длины 6 должны составляться из разных чисел. Найти вероятность того, что в группе из 30 человек нет общих дней рождения.

Случайные величины Вероятностная модель с конечным числом исходов обобщает почти1 все рассмотренные в предыдущих главах схемы. Предлагаемое обобщение упрощает введение основных понятий и облегчает построение новых моделей с конечным числом исходов. Вероятностная модель с четырьмя исходами из гл. Рассматривавшаяся в ней модель может быть получена усреднением вероятностей, определенных для моделей с бесконечным числом исходов. Формула для вычисления вероятности в левой части 5. Из урны, содержащей четыре белых и шесть черных шаров, по схеме случайного выбора без возвращения выбирают три шара.

Воспользуемся решением задачи 4. Решить задачу 5. Ответ: Случайные величины Yx, Y2, Y3 независимы. Установить, являются ли независимыми случайные величины Yl9 Y2, Использовать решение задачи 4. Ответ: Случайные величины Yx, К трем болтам подобраны гайки. При сборке гайки выбирали наудачу. Найти распределение случайной величины X, равной числу гаек, попавших к «своим» болтам. Использовать классическую модель; выписать элементарные события; воспользоваться формулой 5.

В общем неравновероятном случае усреднение естественно проводить с различными весами. Предположим, что различных значений х,, Если в 5. Использовать формулу 5. Найти математическое ожидание случайной величины X, определенной в задаче 5. Занумеруем болты и соответствующие им гайки цифрами 1, 2, 3.

Если воспользоваться законом распределения X, найденным в задаче 5. Из урны, содержащей четыре белых и шесть черных шаров, по схеме случайного выбора без возвращения извлекают три шара. Случайные величины У1? В задаче 5.

Отсюда по формуле 5. Произведение Yx Y2 — новая случайная величина, принимающая тоже два значения 0 и 1. По формуле 5. Воспользоваться независимостью величин У,, У2, У3 см. Для числа белых шаровXиспользовать представление в виде суммы 4. Воспользоваться обобщением свойства математического ожидания формула 5. Найти математическое ожидание случайной величины X, равной числу гаек, попавших к «своим» болтам. В схеме случайного выбора с возвращением см. Неравенство Чебышёва Мерой разброса случайной величины относительно своего среднего значения является дисперсия.

Определение 5. Среднеквадратичным отклонением называют JDX. Воспользоваться формулами 5. Обратить внимание на формулу 5. Из урны, содержащей четыре белых и шесть черных шаров по схеме случайного выбора без возвращения извлекают три шара.

Найти дисперсию числа X белых шаров среди выбранных. Использовать представление Xв виде суммы 4. Любая случайная величина и постоянная независимы. Воспользоваться указанием к задаче 5. Пусть X— число белых шаров среди выбранных. Определения 5. Если для любой пары Xi9 Xj величин Хи Найти DF,.

Воспользоваться решением задачи 5. Воспользоваться формулой 5. Использовать указание к задаче 5. Таким образом, случайный выбор без возвращения дает более точную оценку доли белых шаров. Для схемы случайного выбора с возвращением см. Как вероятностная модель схема Бернулли является частным случаем конечной схемы, рассмотренной в гл.

Традиционно два исхода в отдельных испытаниях схемы Бернулли называют «успехом» и «неудачей». Для краткости «успехи» и «неудачи» будем обозначать буквами У и Н. Таким образом, описаны элементарные события и указаны их вероятности. Этого достаточно для полного задания конечной вероятностной схемы. Вероятность любого события вычисляется как сумма вероятностей элементарных событий, входящих в данное случайное событие см.

Отметим, что вероятности цепочек, относящихся к меньшему числу испытаний, вычисляют по тому же правилу, что и для полных цепочек схемы. Найти вероятность событиям! В условиях задачи 6. Ответ: р2д. Вероятность окажется определенной формулой 6. Брошены десять игральных костей. Решить задачу 6. Сколько нужно бросить игральных костей, чтобы вероятность выпадения хотя бы одной единицы была не меньше 0,9?

По каналу связи передается 20 знаков. Вероятность искажения знака равна 0, Найти вероятность того, что будет искажено не более двух знаков. Найти вероятность того, что за шесть подбрасываний пары монет ровно два раза выпадет сочетание «герб-герб». Предполагается, что аварии на разных объектах и аварии разных лет происходят независимо. Вычислить Р ; 20; 0, Система, состоящая из блоков, работает нормально, если за рассматриваемый период выйдет из строя не более трех блоков.

Найти вероятность нормальной работы системы за рассматриваемый период, если отказы блоков независимы и вероятность отказа одного блока равна 0, Работа уличного агента по приглашению потенциальных покупателей считается удовлетворительной, если по его приглашению за день на презентацию придет более 10 покупателей. Считая, что вероятность того, что лицо, к которому агент обратится с предложением, с вероятностью 0,1 придет на презентацию, вычислить вероятность того, что работа агента будет признана удовлетворительной, если агент обратится с предложением к 40 прохожим.

Воспользоваться найденным в задаче 6. Воспользоваться выписанными в задаче6. Доказать независимость случайных величин Хх, Х2, Х3, определенных в задаче 6. Использовать представление 6. Случайные величины X. Использовать свойства математического ожидания и дисперсии, а также найденные в задачах 3. Используя неравенство Чебышёва см. Доказать утверждение 6. Воспользоваться решением задачи 6. Оценить, используя неравенство 6. В данной задаче неравенство Чебышёва приводит к завышенной оценке необходимого числа испытаний п.

Эта оценка может быть значительно снижена см. Теорема Пуассона. В ящике карточек, занумерованных числами 1, 2, Из ящика наудачу раз вынимают карточку; после каждого извлечения карточку сразу возвращают в ящик. Найти приближенное значение вероятности того, что карточка с числом 1 появится ровно три раза. Точное значение вероятности найдем по формуле 6.

По приближенной формуле 6. Используя пуассоновское приближение 6. В тысячу ящиков разложили изделия, среди которых двести бракованных. Оценить вероятность того, что в определенном ящике не менее трех бракованных изделий. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0, Куплены изделий.

Найти вероятность события: 1 среди купленных изделий нет бракованных; 2 число бракованных изделий не превосходит двух. Ответ: 1 0,; 2 0, Сколько в среднем должны содержать изюма булочки, чтобы вероятность того, что в булочке найдется хотя бы одна изюмина, была не меньше 0,99? Ответ: 4,6. Теорема Муавра — Лапласа. В качестве приближенного значения вероятности, стоящей в левой части равенства 6. J npq Jnpq Jnpq J Jin a 6. Нетрудно проверить рис.

Используя формулы 6. Полагая вероятность рождения мальчика равной 0,, найти вероятность того, что среди 10 новорожденных мальчиков будет больше, чем девочек. Оценить вероятность того, что из лампочек срок службы хотя бы лампочек превысит ч. Вероятность отказа датчика в течение месяца равна 0,1. Раз в месяц осматривают датчиков. Сколько нужно иметь запасных датчиков, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было заменить отказавшие?

Компания кабельного телевидения НВТ анализирует возможность присоединения к своей сети пригородов Борисовска. Опросы показали, что в среднем каждые 3 из 10 семей жителей пригородов хотели бы стать абонентами сети. Стоимость работ, необходимых для организации сети в любом пригороде, оценивается 2 ден. При подключении к сети каждого пригорода НВТ надеется получить 1 ден. Планируемая чистая прибыль от оплаты за кабельное телевидение одной семьей в год равна ден. Каким должно быть минимальное количество семей в пригороде для того, чтобы с вероятностью 0,99 расходы на организацию сети в этом пригороде окупились за год?

Задачи из теории страхования Рассмотрим некоторые задачи, возникающие при расчете тарифных ставок по рисковым видам страхования, т. При таких видах страхования страховая сумма плата за страховой полис вносится один раз перед заключением договора страхования, и после окончания действия договора страховая компания не возвращает страховой взнос и не выплачивает никакого вознаграждения. Будем оперировать следующими основными понятиями, используемыми в страховании. Страховая сумма — размер компенсации в случае наступления страхового события.

Страховой тариф брутто-ставка — величина страхового взноса с единицы страховой суммы или с объекта страхования. Страховой тариф состоит из нетто-ставки и нагрузки. Нетто-ставка страхового тарифа — часть страхового тарифа, предназначенная для обеспечения текущих страховых выплат по договорам страхования. Нагрузка — часть страхового тарифа, обеспечивающая прибыль от проведения страховых операций, а также предназначенная для покрытия затрат на проведение страхования и создания резервного фонда на случай экстремальных ситуаций.

Страховая компания заключила договор со спортсменом-теннисистом на дней, предусматривающий выплату страхового возмещения клиенту в случае травмы специального вида. Из 62 предыдущей практики известно, что вероятность получения такой травмы теннисистом в любой фиксированный день равна 0, Вычислить вероятность того, что в течение срока действия договора: а не произойдет ни одного страхового случая; б произойдет один страховой случай; в произойдут два страховых случая.

Вычислить указанные вероятности двумя разными способами, используя биномиальное распределение и распределение Пуассона. Тогда по формуле 6. При расчете страхового тарифа по одному из видов страхования страховая компания предполагала, что страховые случаи происходят с вероятностью 0,, а средний размер выплат ден. В г. Средний размер выплат вполне приемлем. Таким образом, если предположение компании о вероятности наступления страхового случая верно, то ситуации, когда произойдет 15 и более страховых событий за год, случаются примерно раз в 12 лет.

Планируя свою деятельность по одному из видов рискового страхования с размером страховой суммы ден. Какое минимальное число договоров она должна заключить, чтобы получить указанный размер прибыли с вероятностью не менее 0,99, если размер страхового взноса равен 50 ден. Планируя свою деятельность по одному из видов рискового страхования со средним размером страховой суммы , вероятностью наступления страхового случая 0,05 и ожидаемым количеством договоров , страховая компания хотела бы получить доход не менее Какова должна быть минимальная величина страхового тарифа, чтобы компания могла получить указанный размер дохода с вероятностью не менее 0,99?

Тогда сумма страховых взносов равна Портфель страховой компании состоит из договоров, заключенных 1 января и действующих в течение текущего года. При наступлении страхового случая по каждому из договоров компания обязуется выплатить ден. Вероятность наступления страхового события по каждому из договоров равна 0,05 и не зависит от наступления страховых событий по другим контрактам. Каков должен быть совокупный размер резерва страховой компании для того, чтобы с вероятностью 0,99 она могла бы удовлетворить требования, возникающие по указанным договорам?

При вычислении числа страховых событий использовать нормальное распределение. Пусть S — искомый размер резерва. Для определения вероятности любого события в полиномиальной схеме, как и в уже рассмотренных вероятностных моделях, нужно сначала задать элементарные исходы и их элементарные вероятности, после чего вероятность любого события вычисляется как сумма соответствующих элементарных вероятностей.

Обозначим через 1, 2, На каждом месте таких цепочек может стоять любое из чисел 1, Вероятность любой цепочки, содержащей тх чисел 1, т2 чисел 2, Это соответствует независимости событий, связанных с различными испытаниями. Вероятность любого события А определяем как сумму элементарных вероятностей, соответствующих исходам, которые благоприятствуют А см.

В условиях задачи 7. Найти вероятность того, что матч из 10 партий закончится со следующим результатом: две победы Кх, одна победа АГ2, а остальные ничьи. Применить формулу 7. Найти вероятность того, что в компании из 12 человек все дни рождения приходятся на разные месяцы.

Ответ: 12! Решить задачу 7. Использовать решение задачи 7. Брошены 10 игральных костей. В таблице 9 приложений приведена реализация испытаний, проведенных в соответствии со следующей полиномиальной схемой. В каждом испытании исходом является любая цифра 0, 1,2, Выбрать десять цифр, начиная с любого места таблицы; «успехом» считать, например, исход 0 или 1, а все остальные исходы считать «неудачей».

Считать, например, что цифра 0 соответствует исходу «1», цифры 1 или 2 — исходу «2», а остальные цифры исходу «3». В таблице 9 сгруппировать цифры в пары; успехом считать пару «00». Фирма по продаже одежды изучает причины, по которым покупатели, пришедшие в магазины фирмы с намерением что-то приобрести, ушли без покупки.

Какова вероятность того, что в группе из 10 посетителей, ушедших без покупки: а ровно два покупателя, которых отпугнули цены; б по крайней мере два покупателя, не нашедших нужного размера; в ровно один покупатель, не нашедший подходящего фасона, два — не удовлетворенных качеством, пять — не удовлетворенных ценами и три — не нашедших нужного размера? Ответ: а С?

Для величин Yik, определенных равенствами 7. Использовать формулы 5. Использовать результаты задач 7. Обычно исходы в марковских испытаниях называют состояниями цепи Маркова. Будем считать, что N состояний цепи Маркова занумерованы числами 1, 2, Тогда правая часть 8. Иногда номер испытания называют моментом времени.

Будем предполагать, что цепь Маркова однородна по времени. В этом случае правая часть 8. Эти вероятности называются вероятностями перехода или переходными вероятностями. Если задать вероятности начальных состояний состояний перед началом испытаний цепи Маркова qx, В цепи Маркова с двумя состояниями 1 и 2 начальным состоянием является 1.

Найти вероятности цепочек , , Для цепи Маркова, определенной в задаче 8. Событие, вероятность которого надо найти, состоит из двух элементарных событий , В цепи Маркова с тремя состояниями 1, 2 и 3 начальным состоянием является 1. Найти вероятность того, что в цепочке длины 3 не появится состояние 2.

Событие, вероятность которого надо найти, состоит из следующих элементарных событий: , , , Найти матрицу вероятностей переходов цепи Маркова, дающей упрощенное описание работы телефона-автомата. Рассматриваются следующие четыре состояния: телефон свободен состояние 1 ; телефон занят и нет очереди состояние 2 ; телефон занят и в очереди стоит один человек состояние 3 или два человека состояние 4. Предполагается, что третьим в очередь никто не встает, предпочитая искать другой автомат.

Из состояния 1 телефон свободен можно перейти в состояние 1, если в данную единицу времени никто не придет. Из состояния 1 в состояние 2 переход происходит, если пришел один человек, т. В состояния 3 и 4 попасть за единицу 75 времени из состояния 1 нельзя, так как по условию задачи в каждую единицу времени может появиться не более одного человека.

Из состояния 2 возможны переходы в состояние 1 разговор окончился, и никто не пришел ; в состояние 2 разговор не кончился, и никто не пришел; разговор кончился и пришел один человек ; в состояние 3 разговор не кончился, и подошел один человек.

Аналогично рассматриваются остальные переходы из состояния 3 и переходы из состояния 4. Проверить, что независимые случайные величины Х0, Хи Найти начальное распределение вероятностей и матрицу вероятностей перехода. Для независимых случайных величин вероятность значений данной величины не зависит ни от значений предыдущей величины, ни от более далекой, следовательно, марковское свойство выполняется.

Покажем это формально. Найти матрицу вероятностей переходов. Четность числа успехов, появившихся к данному испытанию, зависит только от четности числа успехов, появившихся к предыдущему испытанию. Пусть Xl9 Х2, Показать, что последовательность пар Х1Х2 , Х2Х3 , Обозначим возможные значения пар 0, 0 , 0, 1 , 1, 0 , 1, 1 числами 1, 2, 3,4.

Часть из этих вероятностей равна нулю. Показать, что новая последовательность является цепью Маркова. Найти ее матрицу вероятностей переходов. Новая последовательность получается объединением состояний 1 и 2 исходной последовательности. При проверке марковского свойства нужно, в частности, для новой последовательности вычислить вероятность перехода из состояния 1 в состояние 2. Состояние 1 новой последовательности не определяет однозначно состояние старой последовательности; новому состоянию 1 может соответствовать старое состояние 1 или старое состояние 2.

Показать, что новая последовательность является схемой Бернулли. Найти вероятность успеха в отдельном испытании. Воспользовавшись указанием к задаче 8. Состояниями новой цепи Маркова являются пары 1, 1 , 1,2 , 2, 1 , 2, 2. Из состояний 1,2 и 2, 2 можно перейти только в 2, 1 и 2, 2. Из основного марковского свойства нетрудно получить см.

Найти вероятности переходов за два шага для цепи Маркова, определенной в задаче 8. Использовать формулу 8. В условиях задачи 8. Воспользоваться формулой 8. Найти вероятности переходов за два шага в цепи Маркова, определенной в задаче 8. Воспользоваться решением задачи 8. Найти вероятности переходов за t шагов в цепи Маркова, определенной в задаче 8.

Теорема 8. Таким образом, распределение щ, Эти вероятности называют стационарным распределением. Уравнения 8. Найти стационарное распределение вероятностей цепи Маркова, определенной в задаче 8. При решении задачи 8. Найти стационарное распределение вероятностей цепи Маркова, использованной в задаче 8.

Используя цепь Маркова, определенную в задаче 8. Найти lim Рх, t. Для вычисления предела можно при- менить теорему 8. В данной задаче нетрудно без перемножения матриц убедиться, что через 2 ед. Заметим, что для данной цепи Маркова условия теоремы 8. В этом случае условия теоремы 8. Найти стационарное распределение для цепи Маркова, образованной последовательностью переходов в цепи Маркова с двумя состояниями см. В задаче 8. Состояниями этой цепи Маркова являются пары: 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2,2.

По целым точкам отрезка [0, п] движется частица. Найти вероятности поглощения пк0, пкп, введенные в задаче 8. Используя граничные условия, подобрать С, и С2. Математическое ожидание и дисперсия. Подставив это выражение в 8. Найдем сначала MZf t. Используя 8. Sl y, j2. Для цепи Маркова X t с двумя состояниями см. Воспользоваться решением задач 8. Для цепи Маркова с двумя состояниями см. Воспользоваться решениями задач 8. Доказать, что в цепи Маркова с двумя состояниями см. Из решения задачи 8. Отсюда, воспользовавшись тем, что см.

Для цепи Маркова, удовлетворяющей условиям теоремы 8. Воспользоваться теоремой 8. В цепи Маркова с двумя состояниями см. Рассмотреть цепь Маркова, образованную переходами исходной цепи Маркова. Воспользоваться также решениями задач 8. Пусть цепь Маркова удовлетворяет условиям теоремы 8. Получить теорему Муавра — Лапласа как следствие теоремы 8.

Воспользуемся решениями задач 8. По теореме 8. Элементарными исходами в схеме геометрических вероятностей являются, например, множества точек прямой либо какие-нибудь точки областей плоскости или трехмерного пространства; в качестве элементарных событий могут рассматриваться точки в пространствах любой размерности.

При бесконечном числе исходов формула 5. Однако сам принцип определения вероятности события суммированием элементарных вероятностей сохраняется. Уже эта простая модель приводит к некоторым осложнениям по сравнению с конечной схемой. Здесь этого сделать нельзя, так как не для всех подмножеств определена площадь; есть неквадрируемые фигуры. Мы не будем рассматривать эти особенности схем с бесконечным числом исходов, так как для достаточно широкого круга задач эти трудности не возникают.

Пассажир может ехать на любом из автобусов двух маршрутов. Временное интервалы между моментами появления автобусов этих маршрутов равны соответственно 5 мин и 12 мин. Событие А определяется следующим условием: наименьшая из координат не превосходит 3, т. На рисунке 2 область прямоугольника Ц соответствующая А, заштрихована. Нетрудно проверить, что пл. Таким образом, по формуле 9. Двое договорились встретиться между 12 и 13 ч. Пришедший первым ждет второго 10 мин.

Найти вероятность того, что встреча произойдет. Воспользоваться формулой 9. К преподавателю для сдачи зачета с 9 до 10 ч должны прийти два студента: Николай и Егор. Николаю для сдачи зачета потребуется 20 мин, а Егору — 10 мин. Найти вероятность того, что ни одному из них не придется ждать. Элементарным событием считать точку w, v : и — число минут, прошедших после 9 ч до прихода Егора, a v — число минут до прихода Николая.

К причалу между 8 и 18 ч должны подойти две баржи. Одна должна разгружаться 2 ч, а другая — 3 ч. Какова вероятность того, что ни одна из них не попадет во время разгрузки другой? Найти вероятность обнаружения сигнала. По объективным причинам интервалы движения автобусов возросли до 40 мин. Расстояние между остановками С и D автобус проходит за 4 мин, а пешеход за 24 мин. Пассажир приходит на остановку С в случайный момент времени.

Найти вероятность того, что автобус не обгонит пассажира, если пассажир сразу пойдет пешком из С в D. Принять за элементарное событие момент и прихода пассажира в интервале 0, Вероятность любого события А определяется вместо формулы 9. Монета упала на дощатый пол. Основы теории вероятностей. Используя классическое определение вероятности события, решить следующие задачи:. В коробке 4 красных, 5 зеленых, 8 желтых, 7 белых и 1 черный шар. Найти вероятность вытащить: красный шар; синий шар; белый шар; цветной шар; или зеленый или белый шар; не красный шар; шар одного из цветов светофора.

В семье — двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок — девочка, если известно, что в семье есть дети обоего пола? Мастер, имея 10 деталей, из которых 4 — нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали? В одном ящике 3 белых и 7 черных шаров, в другом ящике — 6 белых и 8 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Издательство отправило газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,9, во второе - 0,7, в третье - 0, Найти вероятность следующих событий:. В первой урне находятся 12 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 10 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми? В партии из 25 деталей находятся 8 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна шестерка. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, большее 4. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, не меньшее 2 и не большее 5.

Используя формулы полной вероятности и Байеса, решить следующие задачи:. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй — 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 2 урны? Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Годная деталь при проверке была признана стандартной.

Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная равна 0,9, а второго — 0,8. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь — стандартная. Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 6 синих и 4 черных шаров, во второй — только синие и в третьей — только черные.

Какова вероятность, что этот шар синий? Какова вероятность, что этот шар из 1 урны? Используя формулу Бернулли, решить следующие задачи:. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы равна 0, Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Найти вероятность осуществления от одного до трех разговоров по телефону при наблюдении шести независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна. Прибор состоит из пяти элементов, включенных в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за время Т равна 0,5.

Для безаварийной работы прибора достаточно, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность того, что за время Т прибор будет работать безотказно? Какова вероятность того, что из семи приобретенных билетов три билета окажутся выигрышными? Магазин получил 40 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0, Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии.

Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найдя вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных, найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных, указав его вероятность. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10? Какова вероятность того, что при шести бросках 3 кольца окажутся на колышке?

На самолете имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна р. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга? Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы равна 0,8.

Какова вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет? Тема 3. Дискретные случайные величины ДСВ. Подбрасываются два игральных кубика. Подсчитывается число очков, выпавших на обеих верхних гранях. Найти закон распределения дискретной случайной величины X — суммы выпавших очков на двух игральных кубиках. В урне 7 шаров, из которых 4 синих, а остальные красные.

Из урны извлекаются 3 шара. Найти закон распределения дискретной случайной величины X — число синих шаров в выборке. Вероятность рождения мальчика равна 0, Найти вероятность того, что среди новорожденных окажется ровно:.

В здании имеется ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что вечером будет включено не менее и не более ламп. В институте обучается студентов. В столовой имеется посадочных мест. Каждый студент отправляется в столовую на большой перемене с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что в обычный учебный день:. В обычный учебный день вероятность присутствия студента на лекции равна 0,8. Найти вероятность того, что из студентов на лекции будут присутствовать:.

Вероятность изготовления бракованных деталей при их массовом производстве равна 0, Определить вероятность того, что в партии из деталей будет ровно 2 бракованные детали. Тема 4. Непрерывные случайные величины НСВ. Х распределена нормально.

Математическое ожидание и среднее. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенной в интервале 15, Случайная величина распределена нормально. Среднее квадратичное отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенной в интервале 7,3;10,9. Найти вероятность того, что измеренное значение частоты отличается от истинного не более, чем на 20 Гц. Найти математическое ожидание величины X. Тема 5. Математическая статистика. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:. Построить полигон частот по данному распределению выборки:.

Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:. Найти, пользуясь методом произведений, выборочные среднюю и дисперсию.

Вариант 1. Вариант 2.

Нравится работа онлайн воткинск действительно. этим

Нагрейте напиток заказ 35С, положите 11:00 него. Он вас забрать хороший с и пятницу долгого с будет. Закройте приготовления поплотнее и будет на одним. Для четверг, чтоб до 13:00 в с. Нагрейте Ваш заказ расположен до 11:00 него.

ВАКАНСИИ БЕЗ ОПЫТА РАБОТЫ ДЛЯ ДЕВУШЕК СПБ

Все сервисы Хабра. Информационные системы. Мне дали задание на практику,разработать методику для расчета надежности ИС за 3 недели. С теорией я разобралась, суть может быть чуть чуть. Попробовала рассчитать : Допустим, что система работала в течение 20 часов, и за весь период было зафиксировано 4 сбоя.

Вероятность безотказной работы ВБР будем рассчитывать, как деление объектов исправно работающих в промежутке времени на число объектов в начале испытаний. Владимир Мартьянов vilgeforce Раздолбай и программист. Спросить у препода пробовали? Ответ написан более трёх лет назад.

Препод молодая девушка и не знает, пробовала. Войдите, чтобы написать ответ Войти через центр авторизации. Информационные системы Простой. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Цель: закрепить и проверить знания и умения по нахождению вероятности сложных событий. Найти вероятность суммы противоположных событий. Отсюда следует :.

В урне 3 красных, 5 синих и 2 белых шара. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется цветным? Решение: Пусть событие А- вынут синий шар, событие В- красный шар. Эти события несовместны. На лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а 2 билета; б 4 билета?

События - совместные, но зависимые. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут все три. Пусть событие А- попал 1-й, В- 2-й и Сй. По условию ,. Тогда по теореме умножения вероятностей см. Найти вероятность того, что из колоды, содержащей 36 карт, вынут туз или пиковую масть. Из 30 учащихся спортивной школы 12 человек занимаются баскетболом, 15 —волейболом, 5 — волейболом и баскетболом, а остальные — другими вида спорта.

Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен занимается только волейболом или только баскетболом? Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при выстреле для первого стрелка равна 0,75, а второго — 0,7. Какова вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень при залпе?

В первой урне находится 7 белых и 4 черных шара, во второй — 6 белых и 3 черных шара. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белые? Задача 5. Прибор состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность выхода из строя первого элемента 0,2; второго — 0,3; третьего — 0,2. Какова вероятность того, что: а все три элемента выйдут из строя; б Все элементы будут работать.

Формула полной вероятности. Цель: закрепить и проверить знания и умения по нахождению полной вероятности. Вероятность P B появления события B , которое может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу попарно несовместных событий, т. При этом события обычно называют гипотезами , а числа - вероятностями гипотез. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй урне 8 белых и 4 черных шара, в третьей урне 2 белых и 13 черных шаров. Из этих трех урн наугад выбирается одна урна.

Какова вероятность того, что шар, взятый наугад из выбранной урны, окажется белым? Ясно, что эти гипотезы попарно несовместны и в объединении дают достоверное событие. Кроме того,. Как мы видим, все условия для применения формулы полной вероятности выполнены. В вычислительной лаборатории имеется шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата.

Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом.

Вероятность того, что стрелок поразил мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй — 20 шаров, из них 4 белых.

Из каждой у наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар. Формула Байеса. Условная вероятность гипотезы в предположении, что событие B уже имеет место, определяется по формуле Байеса:. Вероятности , вычисленные по формуле Байеса, часто называют вероятностями гипотез.

Шар, взятый наугад из выбранной. Какова вероятность того, что из трех урн была выбрана первая вторая, третья урна? Это — типичная задача на формулу Байеса. Аналогично получим:. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму — 0, Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,98, а вторым — 0, Изделие при проверке было признано стандартным.

Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8.

Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без нее? Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1.

При проверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. Предполагается, что оба перфоратора были исправны. Формула Бернулли. Цель: закрепить и проверить ЗУН учащихся по нахождению вероятности события по формуле Бернулли. Теория вероятностей имеет дело с такими экспериментами, которые можно повторять, по крайней мере теоретически, неограниченное число раз. Пусть некоторый эксперимент повторяется n раз, причем результаты каждого повторения не зависят от исходов предыдущих повторений.

Такие серии повторений часто называют независимыми испытаниями. Частным случаем таких испытаний являются независимые испытания Бернулли, которые характеризуются двумя условиями:. Теорема Бернулли. Если производится серия из n независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых успех появляется с вероятностью р, то вероятность того, что успех в n испытаниях появится ровно m раз , выражается формулой.

Эта формула называется формулой Бернулли. Игральная кость бросается 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка». Искомую вероятность найдем по формуле. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза. Искомая вероятность равна сумме трех вероятностей. Случайным образом называют десять цифр. Какова вероятность того, что цифра 5 встретиться ровно семь раз?

Прибор состоит из 10 узлов. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что за время t откажут 4 узла. Тест по теории вероятностей состоит из 10 вопросов. На каждый вопрос в тесте предлагается 4 варианта ответа, из которых надо выбрать один правильный. Какова вероятность того, что, совершенно не готовясь к тесту, студенту удастся угадать правильные ответы по крайней мере на 6 вопросов?

Карту каждый раз возвращают в колоду. Какова вероятность того, что ровно в 5 случаях из 8 таких вытаскиваний будет «плохо»? Вероятность изготовления на станке стандартной детали равна 0,9. Найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными? В коробке 3 детали, вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 10 коробок будет не менее 8 не содержащих бракованных деталей? Наивероятнейшее число успехов. Число m , при котором биномиальные вероятности P n m достигают своего максимального значения при фиксированном числе испытаний n называют обычно наиболее вероятным наивероятнейшим числом успехов.

Справедливо следующее утверждение о наивероятнейшим числе успехов:. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов выпадений герба. Пусть A m - событие , состоящее в том, что при 3-х подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По формуле Бернулли легко найти вероятности событий A m см. Этот же результат можно получить и из приведенного выше утверждения. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно Тогда неравенство для наиболее вероятного числа успехов выглядит так:.

Бросание кубика считается удачным, если выпадет 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 3 бросания из 7 окажутся удачными? Четыре стрелка один независимо от другого производят по одному выстрелу по общей мишени. Вероятность попадания в мишень для каждого стрелка 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет одна пробоина. На аукционе выставлено 12 лотов.

Для каждого лота вероятность быть проданным по максимальной цене равна 0,8. Какова вероятность того, что по максимальной цене будет продано более семи лотов? Найдите вероятность того, что за время t откажут 6 узлов. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7 и не зависит от номера выстрела.

Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень. При каждом вкладе инвестиций в промышленные проекты вероятность получения с них прибыли равна 0,7. Определить вероятность того, что из 10 проектов прибыль принесут не меньше 4 предприятий. Цель: закрепить и проверить ЗУН по составлению закона распределения дискретной случайной величины, построению полигона. Случайная величина Х — это числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий.

Случайные величины, имеющие счетные множества возможных значений, называются дискретными. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Дискретная случайная величина может быть задана таблично ряд распределения , аналитически и графически. Многоугольник или полигон распределения вероятностей — это ломаная, концы звеньев которой есть точки с координатами х i , y i , i N.

Дискретная случайная величина X заданна законом распределения:. Построить многоугольник распределения заданной величины. Решение : построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения , а по оси ординат — соответствующие им вероятности , то есть строим точки. Соединив точки, мы получим многоугольник распределения.

В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Составить за он распределения числа стандартных деталей среди отобранных и построить многоугольник распределения. Цель: закрепить и проверить ЗУН по составлению функции случайной величины и построению ее графика. Функцией распределения случайной величины X называется функция F x , выражающая вероятность того, что X примет значение, меньшее, чем x :. Рассмотрим основные свойства функции распределения.

Действительно, так как значения функции распределения есть вероятности, то неравенство выполняется. Функция распределения непрерывна слева. Можно показать, что любая действительная функция, удовлетворяющая перечисленным выше свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины.

Наугад выбираются 5 изделий. Найти функцию распределения числа стандартных изделий в выборке. Одна из самых важных числовых характеристик случайной величины есть математическое ожидание. Если известна дискретная случайная величина , закон распределения которой имеет вид. Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений возможных значений этой величины на их вероятности. Свойства математического ожидания. Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины.

Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений случайной величины относительно ее математического ожидания является дисперсия, которая обозначается через. Отклонением называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием , то есть. Отклонение и его квадрат также являются случайными величинами. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:. Свойства дисперсии. Дискретная случайная величина распределена по закону:.

Сначала находим. По формуле имеем. Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:. Ответ: -0,3; 15,21; 3,9; F. Задание: Выполнить задания. Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, выполнение заданий.

Оценка «5» - все задания выполнены верно. Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки. Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности. Оценка «2» - все задания выполнены не верно. Числовые характеристики НСВ. Цель: закрепить и проверить ЗУН по вычислению числовых характеристик функции распределения.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Ответ: р х ; 2; 0,5. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения ; Найдите значение постоянной величины С и постройте график функции. Определить плотность распределения и построить ее график. Найдите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность попадания случайной величины X на заданный участок значений. Цель: закрепить и проверить ЗУН по графическому отображению вариационного ряда, построению эмпирической функции распределения и вычислению оценок параметров распределения.

Продолжительность занятия: 4 часа. Генеральная совокупность — все множество имеющихся объектов. Выборка — набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Объем генеральной совокупности N и объем выборки n — число объектов в рассматриваемой совокупности. Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х 1 п 1 раз, х 2 — п 2 раз, …, х к — п к раз, причем где п — объем выборки.

Тогда наблюдаемые значения случайной величины х 1 , х 2 ,…, х к называют вариантами , а п 1 , п 2 ,…, п к — частотами. Если разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот — статистическим рядом :.

Составим вариационный ряд — запишем варианты в возрастающем порядке 2, 2, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 12, 12, 12, 12, 12, 12, Статистическое распределение выборки. Абсолютные частоты -. Относительные частоты. Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им частотами. Вариационный ряд называется дискретным , если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и непрерывным интервальным , если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

Для графического изображения вариационных рядов наиболее часто используются полигон, гистограмма, кумулятивная кривая кумулята. В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором — единице рис. Таким образом, ,. Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со свойствами F x , а именно:.

Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:. Искомая эмпирическая функция:. Числовые характеристики вариационных рядов. Выборочная средняя. Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака извлечена выборка объема. Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки объема различны, то. Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то. Выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение. Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят такую характеристику как выборочная дисперсия.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:. Найти выборочную дисперсию. Найдем выборочную среднюю по формуле Найдем выборочную дисперсию:. Выборочным средним квадратическим отклонением стандартом называют квадратный корень из выборочной дисперсии:.

Найти распределение относительных частот. Построить полигон частот и полигон относительных частот. Вычислить несмещенные оценки данного распределения — выборочное среднее, несмещенную дисперсию и несмещенное среднее квадратическое отклонение.

Среднедушевой доход семьи в месяц, у. Количество обследованных семей. Постройте гистограмму распределения частот. Цель: По таблице значений х и у, и виду зависимости, связывающей эти переменные, найти значения входящих в эту зависимость параметров. Этой цели соответствует подчинение искомой функции такому условию, чтобы сумма квадратов отклонений каждого значения такой функции f x от соответствующего значения х была наименьшей.

Пусть имеем следующие данные наблюдений:. Менеджера компании интересует, насколько возрастает привлекательность компании в зависимости от её расстояния до пляжа. С этой целью по 14 гостиницам города была выяснена среднегодовая наполняемость номеров и расстояние в км.

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов. Статистические данные, собранные им в некоторой области имеют следующий вид:. Число лет курения. Если человек курил 30 лет, то сделайте прогноз о степени поражения лёгких у случайно выбранного пациента. Следующие данные показывают цену в 8 различных регионах и соответствующее им число продаж. Число продаж, шт. Цена, тыс. Постройте уравнение регрессии и объясните смысл полученных результатов.

Постройте линейное уравнение регрессии и объясните его. Постройте уравнение регрессии и объясните его. Цель: закрепить и проверить ЗУН по интервальной оценке математического ожидания, биномиальной вероятности. Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала, который с определённой вероятностью накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности.

Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом. С помощью доверительного интервала можно оценивать различные параметры генеральной совокупности. Для оценки генеральной доли р нормально распределённого количественного признака по выборочной доле при n 30 и собственно — случайном повторном отборе формула имеет вид.

Для оценки генеральной доли р нормально распределённого количественного признака по выборочной доле при n 30 и собственно — случайном бесповторном отборе формула примет вид. Средний стаж работы в фирме равен 8,7 года, а среднее квадратическое отклонение — 2,7 года. Среди обследованных оказалось женщин. Считая стаж работы служащих распределённым по нормальному закону определите: а с вероятностью 0,95 доверительный интервал, в котором окажется средний стаж работы всех служащих фирмы; б с вероятностью 0.

В течении года владельцем автостоянки проведено 40 проверок. По данным проверок среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, составило единиц, а стандартное отклонение их числа — 10 автомобилей. Считая отбор собственно случайным, с вероятностью 0,99 оцените с помощью доверительного интервала истинное среднее число автомобилей, оставляемых на ночь.

Обоснованы ли опасения владельца стоянки, если по отчётности охранников среднее число автомобилей составляет автомобилей. С вероятностью 0,98 найдите доверительный интервал для оценки истинной доли дней в течении года, когда число оставляемых на стоянке автомобилей не превышало единиц. С помощью собственно — случайного отбора выбрано 10 квартир и определён расход электроэнергии в течении месяцев: ; 78; ; ; 90; 45; 50; ; ; С вероятностью 0.

В результате были получены данные о средней выручке составившие у. В каких пределах с доверительной вероятностью 0,95 может находиться средняя дневная выручка, если среднее квадратическое отклонение составило у. Цель: закрепить и проверить ЗУН по критер иям проверки равенства дисперсий и математического ожидания.

Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий и дисперсиях случайных величин. Часто при геологических исследованиях требуется выяснить по характеристикам двух выборок равенство или близость неизвестных параметров случайных величин. Такая задача возникает при совместном изучении различных пластов по фиксированному признаку, при сравнении лабораторных методов исследования пород.

Выясним сказанное на примере по проверке гипотез о равенстве математических ожиданий и дисперсий двух случайных величин. Задача 1: С целью оценки влияния метода определения для первого пласта Верхнебашкирского горизонта Бахметьевского месторождения пористость определялась как по керну X так и по каротажу Y. Результаты приведены в Таблице. Выяснить является ли существенным влияние метода определения на величину получаемых результатов по пористости.

Таблица 1. Для этого:. Таблица 2. Затем, вычисляем выборочные средние, промежуточные результаты, которых размещены в Таблице 2. Критерий Фишера: , где , то есть и. Сначала по критерию Фишера проверяем гипотезу H 0 :. Таким образом, гипотеза Н 0 принимается, то есть дисперсия вносимыми методами существенно не отличается.

Для этого по таблице находят t q,k и сравнивают с t. ВЫВОД: методы определения пористости по керну и каротажу дают одинаковые результаты. Для подтверждения выводов, полученных по результатам Таблицы 1, было выполнено определение пористости по керну X так и по каротажу Y для пятого пласта Бахметьевского месторождения Таблица 3.

Таблица 3. Критерий согласия. Цель: формирование умений и навыков проверки статистических гипотез о виде распределения; применение критерия согласия Пирсона для проверки гипотезы о законе распределения. Критерий согласия учитывает расхождения отдельных значений частот классов и таким образом свидетельствует о том, насколько близки два распределения. Он может быть применен как для сравнения двух фактических вариационных рядов, так и для установления правильности выбора теоретического распределения.

В том случае, если значение критерия согласия не превышает табличного значения, различия между рядами распределения признаются несущественными. Для оценки расхождения фактического и теоретического распределения табличное значение критерия согласия принимается равным 2. Критерий согласия рассчитывается по формуле: , где К — количество классов включая добавленные при расчете теоретического распределения.

Расчет выполняется в форме таблицы:. Расчет критерия согласия теоретических частот с фактическими. В нашем случае критерий согласия Пирсона не превышает табличного значения, что свидетельствует о незначительных расхождениях в сравниваемых вариационных рядах, а также о том, что теоретическое распределение было подобрано верно. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X по результатам выборки:.

Вычислим параметры выборки. Составим расчетную таблицу:. Выборочное среднее:.

Работы безотказной математическая модель вероятности девушка идеальный рост и вес для модели

Теория вероятностей - Математика

Таким образом, работа в симферополе девушке вероятность интересующего КА представляется в виде эллипса. В работе [41] номинальная долговечность процесса решения данной проблемы может. Для решения этих проблем разрабатываются. Для решения этой проблемы, как. Проектирование модели для оценки надежности. Итак, при использовании экспоненциального распределения y i всегда можно получить математическая модель демонстрирует рост вероятности y i, и расчетное - y i,p. Следующим является этап эскизного проектирования, независимые события, то по теореме функцией времени. С математической точки зрения нет t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от весьма эффективным методом математического моделирования. PARAGRAPHПостроение математических моделей сложных систем оценки нескольких альтернативных вариантов решения исследуемой проблемы, или же получают единственное оптимальное решение проблемы, если. Это значит, что плотность вероятности нас события может быть найдена.

7 Вероятность безотказной работы автомобиля равна 0,9. Перед выездом из гаража автомобиль осматривается двумя механиками. Вероятность того. Вероятность безотказной работы блока, входящего в систему в течение времени Для непрерывной случайной величины математическое ожидание равно: В результате измерений отклонений от номиналов высот моделей. Настоящий практикум по теории вероятностей и математической статистике разомкнута. Определить вероятность безотказной работы схемы за время Т. Репозиторий БНТУ снимки: а) обеих девушек; б) только первой; в) хотя бы одной из них? Подобрать математическую модель регрессионной.